若一个椭圆与双曲线x2-y23=1焦点相同,且过点(-3,1).(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;(Ⅱ)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
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若一个椭圆与双曲线x2-y23=1焦点相同,且过点(-3,1).(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;(Ⅱ)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
题型:不详
难度:
来源:
若一个椭圆与双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
焦点相同,且过点(
-
3
,1).
(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
答案
(I)由双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
得焦点F
1
(-2,0),F
2
( 2,0),…(2分)
由条件可知,椭圆过点(
-
3
,1),
∴2a=
(-
3
+2
)
2
+1
+
(-
3
-2
)
2
+1
,a
2
=6,
∴b
2
=6-4=2,
这个椭圆的标准方程
x
2
6
+
y
2
4
=1
.
(II)设弦的两端点分别为M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
) 的中点为R(x,y),
则
x
1
2
6
+
y
1
2
4
=1
,
x
2
2
6
+
y
2
2
4
=1
,
两式相减并整理可得
2x(x
1
-
x
2
)
6
+
2y(
y
1
-
y
2
)
4
=0
①
将
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=2
代入式①,
得所求的轨迹方程为x+3y=0(椭圆内部分).
举一反三
分别求适合下列条件圆锥曲线的标准方程:
(1)焦点为F
1
(0,-1)、F
2
(0,1)且过点M
(
3
2
,1)
椭圆;
(2)与双曲线
x
2
-
y
2
2
=1
有相同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线.
题型:不详
难度:
|
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求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)已知双曲线的焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率为
2
,且过点
(4,-
10)
;
(2)与双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=1
有共同的渐近线,且经过点
M(-3,2
3
)
.
题型:不详
难度:
|
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焦点为F(0,10),渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是( )
A.
y
2
64
-
x
2
36
=1
B.
x
2
9
-
y
2
16
=1
C.
y
2
9
-
x
2
16
=1
D.
x
2
64
-
y
2
36
=1
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的左右焦点分别为F
1
,F
2
,P为双曲线右支一的任意一点,若
|P
F
1
|
2
|P
F
2
|
的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(0,+∞)
B.(1,2]
C.
(1,
3
]
D.(1,3]
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
4
-
y
2
9
=1
,F
1
,F
2
是其两个焦点,点M在双曲线上,若∠F
1
MF
2
=120°,则△F
1
MF
2
的面积为______.
题型:不详
难度:
|
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