若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )A.55B.52C.2D.5

若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )A.55B.52C.2D.5

题型:不详难度:来源:
若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )
A.


5
5
B.


5
2
C.2D.


5
答案
不妨设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1
,其右焦点F(c,0)关于渐近线y=
b
a
x
对称的点在双曲线上.
过焦点F且垂直渐近线的直线方程为:y-0=-
a
b
(x-c),即y=-
a
b
(x-c),
联立渐近线方程可得方程组





y=
b
a
x
y=-
a
b
(x-c)
,解之可得





x=
a2
c
y=
ab
c

故对称中心的点坐标为(
a2
c
ab
c
),由中点坐标公式可得对称点的坐标为(
2a2
c
-c,
2ab
c
),
将其代入双曲线的方程可得
(2a2-c2)2
a2c2
-
4a2b2
b2c2
=1
,结合a2+b2=c2
化简可得c2=5a2,故可得e=
c
a
=


5

故选D
举一反三
已知双曲线
x2
10-m
+
y2
m-2
=1
的实轴在y轴上.且焦距为8,则此双曲线的渐近线的方程为(  )
A.y=±


3
x
B.y=±


3
3
x
C.y=±3xD.y=±
1
3
x
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已知双曲线
x2
16
-
y2
9
=1
,则它的渐近线的方程为(  )
A.y=±
3
5
x
B.y=±
3
4
x
C.y=±
4
3
x
D.y=±
5
4
x
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设双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为


5
2
,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±2xB.y=±4xC.y=±
1
2
x
D.y=±
1
4
x
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已知y=
1
2
x是双曲线x2-a2y2=a2的一条渐近线,则双曲线的离心率等于(  )
A.


3
2
B.


3
C.


5
2
D.


5
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直线y=x+1与椭圆mx2+ny2=1(m,n>0)相交于A,B两点,弦AB的中点的横坐标是-
1
3
,则双曲线
y2
m2
-
x2
n2
=1的两条渐近线所夹的锐角等于(  )
A.2arctan2B.2arctan
1
2
C.π-2arctan2D.π-2arctan
1
2
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