在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1。(1)过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;(2

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1。(1)过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;(2

题型:高考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1。
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1,若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值。
答案
解:(1)双曲线C1左顶点A(-),渐近线方程为:y=±x
过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+),即y=,所
,解得
所以所求三角形的面积为S=
(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,因直线PQ与已知圆相切,故,即b2=2,
,得x2-2bx-b2-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
又y1y2=(x1+b)(x2+b)
所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0
故PO⊥OQ。
(3)当直线ON垂直x轴时,|ON|=1,|OM|=
则O到直线MN的距离为
当直线ON不垂直x轴时,设直线ON的方程为:y=kx,(显然|k|>),
则直线OM的方程为y=

所以
同理
设O到直线OM的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2
所以==3,即d=
综上,O到直线MN的距离是定值。
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的离心率为,则m的值为(    )。
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已知双曲线E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
(Ⅲ)在平面上是否存在定点P,使得对圆C上任意的点G有?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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双曲线的渐近线方程为[     ]
A.y=±2x
B.
C.
D.
题型:期末题难度:| 查看答案
已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为[     ]
A.y=±2x
B.
C.
D.
题型:期末题难度:| 查看答案
已知双曲线的离心率为,焦距为2c,且2a2=3c,双曲线 上一点P满足(F1、F2为左右焦点),则||●||=(    )。
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