解:(Ⅰ)由双曲线E: ,得l:x=﹣4,C(﹣4,0),F(﹣6,0).
又圆C过原点,所以圆C的方程为(x+4)2+y2=16.
(Ⅱ)由题意,设G(﹣5,yG),代入(x+4)2+y2=16,得 ,
所以FG的斜率为 ,FG的方程为 .
所以C(﹣4,0)到FG的距离为 ,
直线FG被圆C截得的弦长为
(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由 ,
得
整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0.①
又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上,所以x02+y02+8x0=0 ②
②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0.
又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知,
解得:s=﹣12,t=0.
所以在平面上存在一定点P,其坐标为(﹣12,0).
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