在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1。（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线

题型：高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x²-y²=1。
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ。

答案

解：（1）双曲线C₁：的左焦点F（-），设M（x，y），
则|MF|²=（x+）²+y²，
由M点是右支上的一点，可知x≥，
所以|MF|==2，得x=，
所以M（）。
（2）左顶点A（-），渐近线方程为：y=±x
过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，
所以，解得
所以所求平行四边形的面积为S=。
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，
即b²=k²+1…①，
由，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）
所以=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²==
由①式可知，故PO⊥OQ。