已知圆C的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点
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已知圆C的方程为x2+y2=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点
题型:许昌三模
难度:
来源:
已知圆C的方程为x
2
+y
2
=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆
T:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右顶点和上顶点.
(1)求椭圆T的方程;
(2)已知直线l与椭圆T相交于P,Q两不同点,直线l方程为
y=kx+
3
(k>0)
,O为坐标原点,求△OPQ面积的最大值.
答案
(1)由题意:一条切线方程为:x=2,设另一条切线方程为:y-4=k(x-2)..(2分)
则:
|4-2k|
k
2
+1
=2
,解得:
k=
3
4
,此时切线方程为:
y=
3
4
x+
5
2
切线方程与圆方程联立,可得x
2
+(
3
4
x+
5
2
)
2
=4,从而可得
x=-
6
5
,y=
8
5
,
则直线AB的方程为x+2y=2….(4分)
令x=0,解得y=1,∴b=1;令y=0,得x=2,∴a=2
故所求椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
=1
….(6分)
(2)联立
y=kx+
3
x
2
4
+
y
2
=1.
整理得
(1+4
k
2
)
x
2
+8
3
kx+8=0
,
令P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=
-8
3
k
1+4
k
2
,
x
1
x
2
=
8
1+4
k
2
,
△=(8
3
k
)
2
-32(1+4
k
2
)>0
,即:2k
2
-1>0…..(8分)
又原点到直线l的距离为
d=
3
1+
k
2
,
|PQ|=
1+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
,…..(10分)
∴
S
△OPQ
=
1
2
|PQ|•d=
3
2
|
x
1
-
x
2
|=
3
2
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=2
6
•
2
k
2
-1
(1+4
k
2
)
2
=
2
6
•
2
k
2
-1
4
(2
k
2
-1)
2
+12(2
k
2
-1)+9
=2
6
•
1
4(2
k
2
-1)+12+
9
2
k
2
-1
≤1
当且仅当
k=
5
2
时取等号,则△OPQ面积的最大值为1. …..(12分)
举一反三
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点F
2
与抛物线
C
2
:
y
2
=8x
的焦点重合,左端点为
(-
6
,0)
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆C
1
的右焦点且斜率为
3
的直线l
2
被椭圆C
1
截得的弦AB,试求它的长度.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
9
=1
上任一点P,由点P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且
PM
=2
MQ
,点M的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点D(0,-2)作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点
(0,-
4
17
)
且平行于x轴的直线上一动点,满足
ON
=
OA
+
OB
(O为原点),问是否存在这样的直线l,使得四边形OANB为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由.
题型:不详
难度:
|
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求与双曲线
x
2
2
-
y
2
=1
有两个公共焦点,且过点P
(
3
,2)
的圆锥曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知方程
x
2
k-4
+
y
2
10-k
=1
表示椭圆,则实数k的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知方程
x
2
k-7
-
y
2
k-12
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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