已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点M,设M到抛物线C外一定点A(6,12)的距离为d1,M到定直线l:x=-p的距离为d2,若d1+d2的最小值为14

已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点M,设M到抛物线C外一定点A(6,12)的距离为d1,M到定直线l:x=-p的距离为d2,若d1+d2的最小值为14

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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点M,设M到抛物线C外一定点A(6,12)的距离为d1,M到定直线l:x=-p的距离为d2,若d1+d2的最小值为14,则抛物线C的方程为______.
答案
由于抛物线C:y2=2px(p>0)上一动点M,如图示,
则M到抛物线的焦点F(
p
2
,0)的距离等于M到准线:x=-
1
2
p的距离,
又由于M到定直线l:x=-p的距离为M到准线:x=-
1
2
p的距离与
p
2
的和,
则d2=MQ=MF+
p
2

故d1+d2=MA+MF+
p
2
的最小值为14,
由图知,当M与P′重合时,取最小值14,
则14=AF+
p
2
=


(6-
p
2
)2+122
+
p
2
,解得p=2,
则抛物线C的方程为y2=4x.
故答案为:y2=4x.
举一反三
已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为(   )
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A.x2=8yB.x2=4yC.x2=-4yD.x2=-8y
抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标是(  )
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A.(,0)B.(-,0)C.(0,-)D.(0,)
在平面直角坐标系xOy中,焦点为F(5,0)的抛物线的标准方程是______.
抛物线y2=2x的准线方程是(   )
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A.x= B.y= C.x=- D.y=-
根据下列条件,求出抛物线的标准方程.
(1)过点(-3,2).
(2)焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5.