(Ⅰ)依题意,可设抛物线C的方程为:y2=2px(p>0), ∵抛物线C过点(1,2), ∴22=2p,解得p=2. ∴抛物线C的方程为:y2=4x. (Ⅱ)关于抛物线C的类似命题为:过抛物线y2=4x的焦点F(1,0)作与x轴不垂直的任意直线l, 交抛物线线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则为定值,且定值为2. 证明如下: 设直线AB的方程为x=ty+1,t≠0, 代入y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0. ∵△=16t2+16>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4, x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2, ∴线段AB中点P的坐标为(2t2+1,2t), AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t(x-2t2-1), 令y=0,解得x=2t2+3, 即M(2t2+3,0), ∴|FM|=2t2+2, 由抛物线定义知,|AB|=x1+x2+2=4t2+4, ∴=2. (Ⅲ)过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l,交抛物线线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交对称轴于点M,则为定值,且定值为2. |