已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y
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已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ) 设点A(x1,y1),B(x2,y2)(yi≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程. |
答案
(I)∵|PF|=4,∴xP+=4, ∴P点的坐标是(4-,4), ∴有16=2P(4-)⇒P=4, ∴抛物线方程是y2=8x. (II)由(I)知点P的坐标为(2,4), ∵∠APB的角平分线与x轴垂直,∴PA、PB的倾斜角互补,即PA、PB的斜率互为相反数, 设PA的斜率为k,则PA:y-4=k(x-2),k≠0 ⇒y2-y-16+=0,方程的解为4、y1, 由韦达定理得:y1+4=,即y1=-4,同理y2=--4, kAB===-1, 设AB:y=-x+b,⇒y2+8y-8b=0, 由韦达定理得:y1+y2=-8,y1y2=-8b, |AB|=|y1-y2|=8,点P到直线AB的距离d=, S△ABP=2×,设b+2=t 则(b+2)(b2-12b+36)=t3-32t-64-(3t-8)(t-8), ∵△=64+32b>0⇒b>-2,y1•y2=-8b≥0⇒b≤0,∴-2<b≤0, 设t=b+2∈(0,2], 则(b+2)(b2-12b+36)=t3-16t2+64t=f(t), f′(t)=3t2-32t-64=(3t-8)(t-8), 由t∈(0,2]知f′(t)>0,∴f(t)在(0,2]上为增函数, ∴f(t)最大=f(2)=72, ∴△PAB的面积的最大值为2×=24, 此时b=0,直线AB的方程为x+y=0. |
举一反三
若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为( )A.x=-2 | B.x=4 | C.x=-8 | D.y=-4 | 设抛物线的焦点为F(-2,0),则抛物线的标准方程是( )A.y2=-8x | B.x2=-8y | C.y2=-4x | D.x2=-4y | 已知点F(0,),动圆P经过点F且和直线y=-相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W. (1)求曲线W的方程; (2)四边形ABCD是等腰梯形,A,B在直线y=1上,C,D在x轴上,四边形ABCD 的三边BC,CD,DA分别与曲线W切于P,Q,R,求等腰梯形ABCD的面积的最小值. | 已知抛物线C的顶点是椭圆+=1的中心,且焦点与该椭圆右焦点重合. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)若P(a,0)为x轴上一动点,过P点作直线交抛物线C于A、B两点. (ⅰ)设S△AOB=t•tan∠AOB,试问:当a为何值时,t取得最小值,并求此最小值. (ⅱ)若a=-1,点A关于x轴的对称点为D,证明:直线BD过定点. | 已知椭圆+=1(a>1)的左右焦点为F1,F2,抛物线C:y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),点M在x轴上方,直线F1M与抛物线C相切. (1)求抛物线C的方程和点M、N的坐标; (2)设A,B是抛物线C上两动点,如果直线MA,MB与y轴分别交于点P,Q.△MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由. |
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