已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心,且焦点与该椭圆右焦点重合.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若P(a,0)为x轴上一动点,过P点作直线交抛物线C于

已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心,且焦点与该椭圆右焦点重合.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若P(a,0)为x轴上一动点,过P点作直线交抛物线C于

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的顶点是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的中心,且焦点与该椭圆右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若P(a,0)为x轴上一动点,过P点作直线交抛物线C于A、B两点.
(ⅰ)设S△AOB=t•tan∠AOB,试问:当a为何值时,t取得最小值,并求此最小值.
(ⅱ)若a=-1,点A关于x轴的对称点为D,证明:直线BD过定点.
答案
(Ⅰ)由题意,设抛物线C的标准方程为y2=2px(x>0),焦点F(
p
2
,0),
∵椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的右焦点为(1,0),
p
2
=1
,即p=2,
∴抛物线方程为:y2=4x,…(4分)
(Ⅱ)(ⅰ)设直线AB:my=x-a.
联立





my=x-a
y2=4x
,消x得
y2
4
-my-a
=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4a,x1x2=
y21
y22
16
=a2
,…(6分)
由S△AOB=
1
2
|OA|•|OB|•sin∠AOB

=
1
2
|OA|•|OB|•cos∠AOB•tan∠AOB

t=
1
2
|OA|•|OB|•cos∠AOB

|OA|•|OB|•cos∠AOB=


OA


OB
=x1x2+y1y2
,…(8分)
t=
1
2
(x1x2+y1y2)=
1
2
(a2-4a)=
1
2
(a-2) 2-2≥-2

∴当a=2时,t有最小值一2.…(10分)
(ⅱ)由(ⅰ)可知D(x1,-y1),y1+y2=4m,y1y2=4,
直线BD的方程为y-y2=
y1+y2
x2-x1
•(x-x2)

y-y2=
y2+y1
y22
4
-
y21
4
•(x-
y22
4
)

y=y2+
4
y2-y1
(x-
y22
4
)

∴y=
4
y2-y1
x-
4
y2-y1
=
4
y2-y1
(x-1)

∴直线BD过定点(1,0).…(14分)
举一反三
已知椭圆
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左右焦点为F1,F2,抛物线C:y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),点M在x轴上方,直线F1M与抛物线C相切.
(1)求抛物线C的方程和点M、N的坐标;
(2)设A,B是抛物线C上两动点,如果直线MA,MB与y轴分别交于点P,Q.△MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.
题型:韶关二模难度:| 查看答案
顶点在原点,对称轴为x轴且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
抛物线y=-3(x-1)2向上平移k(k>0)个单位,所得抛物线与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),若x12+x22=
26
9
,则k=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的极坐标方程为ρ=
4
1-cosθ
,则此抛物线的准线极坐标方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
过抛物线C:
x
=2py(p>0)
的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点,当点A的纵坐标为1时,|AF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C上存在一点M,使得MA⊥MB,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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