解:(Ⅰ)取PC中点为F,连结EF,BF 又E为PD的中点,所以且 所以EF//AB,且EF=AB,所以ABFE为平行四边形 …2分 所以AE//BF, 因为AE面PBC,所以AE//面PBC …4分 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0,0,0), B(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0), (0,0,3),E(0,,)…5分 从而=(2,1,0),=(1,0,) 设与的夹角为,则 , …7分 ∴AC与PB所成角的余弦值为 …8分 (Ⅲ)法1:由于N点在面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z), 则 由NE⊥面PAC可得: …10分 即 化简得 即N点的坐标为(,0,) 所以在面PAB内存在点N(,0,),使NE⊥面PAC. …14分 (Ⅲ)法2:在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于G,连PG, 设N为PG的中点,连NE,则NE//DG, …10分 ∵DG⊥AC,DG⊥PA,∴DG⊥面PAC 从而NE⊥面PAC …14分 |