已知抛物线y2=4x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m，n的两段，求证：m+n=mn．

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知抛物线y²=4x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m，n的两段，求证：m+n=mn．

答案

证明：抛物线的焦点F（1，0），准线x=﹣1，
设y=k（x﹣1），
把它代入y²=4x得k²x²﹣2（k²+2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=1
由抛物线定义可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴m+n=（x₁+1）+（x₂+1）=（x₁+x₂）+2，
mn=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（x₁+x₂）+2 
∴m+n=mn