已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．①当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；②过点R（2，1）作直线l与轨迹C

题型：四川省期末题难度：来源：

已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
①当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
②过点R（2，1）作直线l与轨迹C交于A，B两点，使得R恰好为弦AB的中点，求直线l的方程．

答案

解：①设点M（x，y），
由，得，，
由，得，
所以y²=4x．
又点Q在x轴的正半轴上，得x＞0．
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．
②方法一：设直线l：y=k（x﹣2）+1，其中k≠0，
代入y²=4x，整理得k²x²﹣（4k²﹣2k+4）x+（2k﹣1）2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
由，解得：k=2．
所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3．
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
两式相减 得：．
整理得：，
因为R（2，1）为弦AB的中点，
所以y₁+y₂=2，
代入上式得，即k_AB=2．
所以，直线l的方程为y=2（x﹣2）+1，即：y=2x﹣3