已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程; (2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A、B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积. |
答案
(1)y2=8x.(2)24 |
解析
(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),∴82=2p×8,∴2p=8,∴抛物线方程为y2=8x. (2)直线l2与l1垂直, 故可设l2:x=y+m,A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M. 由得y2-8y-8m=0,Δ=64+32m>0,∴m>-2. y1+y2=8,y1y2=-8m,∴x1x2==m2. 由题意可知OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0,∴m=8或m=0(舍), ∴l2:x=y+8,M(8,0), 故S△FAB=S△FMB+S△FMA=|FM|·|y1-y2|=3=24. |
举一反三
以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则其方程是A.y=4x2 | B.y=8x2 | C.y2=4x | D.y2=8x |
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平面直角坐标系xoy中,动点满足:点P到定点与到y轴的距离之差为.记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点F的直线交曲线C于A、B两点,过点A和原点O的直线交直线于点D,求证:直线DB平行于x轴. |
抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M到y轴的距离是( ) |
已知抛物线y2=ax过点A,那么点A到此抛物线的焦点的距离为________. |
过抛物线焦点的直线交其于,两点,为坐标原点.若,则的面积为( ) |
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