设两点在抛物线上，是的垂直平分线，（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为时，求在轴上的截距的取值范围。

题型：不详难度：来源：

设两点在抛物线上，是的垂直平分线，（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2）当直线的斜率为时，求在轴上的截距的取值范围。

答案

⑴当且仅当时，经过抛物线的焦点
⑵在轴上截距的取值范围为

解析

（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
（Ⅱ）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即
设的中点的坐标为，则
，
由，得，于是
即得在轴上截距的取值范围为