若倾斜角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点,则线段的长为A.B.8 C.16D.

若倾斜角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点,则线段的长为A.B.8 C.16D.

题型:不详难度:来源:
若倾斜角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点,则线段的长为
A.B.8 C.16D.

答案
B
解析

专题:计算题.
分析:先根据题意写出直线的方程,再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组,消去y得到关于x的二次方程,最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长.
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到准线的距离分别为dA,dB
由抛物线的定义可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.
由已知得抛物线的焦点为F(1,0),斜率k=tan=1,所以直线AB方程为y=x-1.
将y=x-1代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简得x2-6x+1=0.
由求根公式得x1+x2=6,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.
故选B.
点评:本题主要考查了抛物线的应用以及直线与圆锥曲线的综合问题和方程的思想,属中档题.
举一反三
抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标为
A.B.C.D.0

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是抛物线上一动点,则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是
A.B.C.2D.

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过抛物线=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若·=48,则p的值为______▲_____
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(本小题共12分)
点在轴的负半轴上,点轴上,且
(1)当点轴上运动时,求点的轨迹的方程;
(2)若,是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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抛物线上的动点到直线和直线的距离之和得最小值是         
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