设F为抛物线y=-14x2的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则∠PQF的值是______.
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设F为抛物线y=-14x2的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则∠PQF的值是______.
题型:湖北模拟
难度:
来源:
设F为抛物线
y=-
1
4
x
2
的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则∠PQF的值是______.
答案
由题意,焦点坐标为F(0,-1)
先求导函数为:
y′=-
1
2
x,则p点处切线斜率是2,
∴与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线l的方程为y=2x+4,交x轴于Q(-2,0),
∴
PQ
=(2,4),
QF
=(2,-1)
∴
PQ
•
QF
=0
∴
PQ
⊥
QF
故答案为
π
2
举一反三
抛物线C:y
2
=2px的焦点坐标为
F(
1
2
,0)
,则抛物线C的方程为______,若点P在抛物线C上运动,点Q在直线x+y+5=0上运动,则|PQ|的最小值等于______.
题型:房山区二模
难度:
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已知抛物线P:x
2
=2py (p>0).
(Ⅰ)若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.
(ⅰ)求抛物线P的方程;
(ⅱ)设抛物线P的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线P的切线,求此切线方程;
(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接AO,BO并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.
题型:丰台区二模
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已知A,B是抛物线x
2
=4y上两个动点,且直线AO与直线BO的倾斜角之和为
π
4
,试证明直线AB过定点.
题型:不详
难度:
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已知抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A
1
,B
1
两点,Q是A
1
B
1
的中点,连AQ、BQ、FA
1
,有下列命题:
①△AA
1
F的垂心有可能在此抛物线;
②△AQB的外心有可能在此抛物线上;
③AQ、FA
1
、x轴相交于一点;
④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上
上述命题正确的有______(写出所有真命题的序号)
题型:吉安二模
难度:
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已知抛物线y=ax
2
的准线方程为y=-2,则实数a的值为______.
题型:牡丹江一模
难度:
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