已知A,B是抛物线x2=4y上两个动点,且直线AO与直线BO的倾斜角之和为π4,试证明直线AB过定点.
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已知A,B是抛物线x2=4y上两个动点,且直线AO与直线BO的倾斜角之和为π4,试证明直线AB过定点.
题型:不详
难度:
来源:
已知A,B是抛物线x
2
=4y上两个动点,且直线AO与直线BO的倾斜角之和为
π
4
,试证明直线AB过定点.
答案
显然,直线AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=kx+m,
代入x
2
=4y,得:x
2
-4kx-4m=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则:
x
1
+
x
2
=4k
x
1
x
2
=-4m
设直线AO与直线BO的倾斜角分别为α,β,则α+β=
π
4
,
又
tanα=
y
1
x
1
=
x
1
4
,tanβ=
y
2
x
2
=
x
2
4
,
所以,
1=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
4(
x
1
+
x
2
)
16-
x
1
x
2
=
16k
16+4m
=
4k
4+m
.
即m=4k-4,
直线AB的方程为y=kx+4k-4,即y+4=k(x+4),
所以,直线AB恒过定点(-4,-4).
举一反三
已知抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A
1
,B
1
两点,Q是A
1
B
1
的中点,连AQ、BQ、FA
1
,有下列命题:
①△AA
1
F的垂心有可能在此抛物线;
②△AQB的外心有可能在此抛物线上;
③AQ、FA
1
、x轴相交于一点;
④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上
上述命题正确的有______(写出所有真命题的序号)
题型:吉安二模
难度:
|
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已知抛物线y=ax
2
的准线方程为y=-2,则实数a的值为______.
题型:牡丹江一模
难度:
|
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抛物线y=-2x
2
上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.
9
8
B.
7
8
C.
-
9
8
D.
-
7
8
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点作倾斜角为60°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),
|AF|
|BF|
=______.
题型:东城区一模
难度:
|
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抛物线C:y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为______.
题型:不详
难度:
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