已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A1,B1两点,Q是A1B1的中点
题型:吉安二模难度:来源:
已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A1,B1两点,Q是A1B1的中点,连AQ、BQ、FA1,有下列命题: ①△AA1F的垂心有可能在此抛物线; ②△AQB的外心有可能在此抛物线上; ③AQ、FA1、x轴相交于一点; ④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上 上述命题正确的有______(写出所有真命题的序号) |
答案
取特殊位置AB∥x轴①则 A1(-p,-),F(0,),B1(p,-),故有AF⊥AA1,所以点A是△AA1F的垂心; ②A (-p,),Q(0,-),B(p,)得AQ⊥QB,故△AQB的外心是线段AB的中点; ③由于此时AFQA1是矩形,故正确; ④FQ=BB1=AA1=p,显然FQ2=BB1•AA1 故答案为:①③④. |
举一反三
已知抛物线y=ax2的准线方程为y=-2,则实数a的值为______. |
抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) |
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为60°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),=______. |
抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为______. |
已知点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,则点P的坐标是( )A.(1,) | B.(2,2) | C.(2,-2) | D.(3,) |
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