已知抛物线y2=2px(p>0)上一点Q(4,m)到其焦点的距离为5(1)求p与m的值;;(2)斜率为1的直线不过点P(2,2),且与抛物线交于点A,B,直线A
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y2=2px(p>0)上一点Q(4,m)到其焦点的距离为5 (1)求p与m的值;; (2)斜率为1的直线不过点P(2,2),且与抛物线交于点A,B,直线AP,BP分别交抛物线于点C,D,求证:直线AD,BC交于一个定点. |
答案
(1)由抛物线方程得其准线方程:x=-, 根据抛物线定义点Q(4,m)到焦点的距离等于它到准线的距离,即4+=5,解得p=2 所以抛物线方程为:y2=4x,将Q(4,m)代入抛物线方程,解得m=±4.…(6分) (2)证明:设点A,B,C,D的坐标分别为(, y1),(, y2),(, y3),(, y4), 则直线AB的斜率KAB==,于是得y1+y2=4. 同理知直线AC,BD,AD,BC的斜率分别为,,,, 由A,P,C三点共线得=,即y1y3-2(y1+y3)+8=0, 以4-y2代y1得y2y3-2(y2+y3)=0,① 同理由B,D,P共线得y1y4-2(y1+y4)=0② 设AD,BC交点为M(m,n), 由A,D,M共线知=,即y1y4-n(y1+y4)+4m=0③ 同理由B,C,M共线得y2y3-n(y2+y3)+4m=0④ 将①②代入③④得(2-n)(y1+y4)+4m=0,(2-n)(y2+y3)+4m=0 ∵y1+y4≠y2+y3,∴m=0,n=2 即直线AD,BC交于一个定点M(0,2)…(15分) |
举一反三
设抛物线y2=4x的焦点为F,经过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且AB的中点横坐标为2,则|AF|+|BF|的值是( ) |
一动圆过点A(0,),圆心在抛物线y=x2上,且恒与定直线l相切,则直线l的方程为( ) |
已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x-4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是( ) |
已知抛物线方程为x2=-2y,则该抛物线的准线方程为______. |
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