设抛物线y2=4px(p>0)的准线与x轴的交点为M,过点M作直线l交抛物线于A,B两点.若直线l的斜率依次取p,p2,…,pn时,线段AB的垂直平分线与对称轴
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设抛物线y2=4px(p>0)的准线与x轴的交点为M,过点M作直线l交抛物线于A,B两点.若直线l的斜率依次取p,p2,…,pn时,线段AB的垂直平分线与对称轴
题型:不详
难度:
来源:
设抛物线y
2
=4px(p>0)的准线与x轴的交点为M,过点M作直线l交抛物线于A,B两点.若直线l的斜率依次取p,p
2
,…,p
n
时,线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N
1
,N
2
,…,N
n
,当0<p<1时,求
S=
1
|
N
1
N
2
|
+
1
|
N
2
N
3
|
+…+
1
N
n
N
n+1
+…
的值.
答案
∵抛物线y
2
=4px(p>0)准线为x=-p
∴M(-p,0),可得直线l的方程为y=p
n
(x+p)
与抛物线y
2
=4px消去x,得y
2
-
4p
p
n
y
+4p
2
=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
可得y
1
+y
2
=
4p
p
n
,y
1
y
2
=4p
2
,所以x
1
+x
2
=
1
4p
(y
1
2
+y
2
2
)=
p(
4
p
2n
-2)
∴线段AB的中点坐标为(
x
1
+
x
2
2
,
y
1
+
y
2
2
),即(
p(
2
p
2n
-1)
,
2p
p
n
)
因此,线段AB的垂直平分线为y-
2p
p
n
=
-1
p
n
[x-
p(
2
p
2n
-1)
]
令y=0,得x
n
=
(
2
p
2n
+1)p
,得当斜率
k
n
=
p
n
时,
N
n
((
2
p
2n
+1)p,0)
.
因此,|N
n
N
n+1
|=|x
n+1
-x
n
|=
|(
2
p
2n+2
+1)p-(
2
p
2n
+1)p|=
2(1-
p
2
)
p
2n+1
(0<p<1)
,
所以
1
|
N
n
N
n+1
|
=
p
2n+1
2(1-
p
2
)
=
p
3
2(1-
p
2
)
•(
p
2
)
n-1
,
所以
{
1
N
n
N
n+1
}
是以
p
3
2(1-
p
2
)
为首项,以p
2
为公比的等比数列,且0<p
2
<1,
故
S=
1
|
N
1
N
2
|
+
1
|
N
2
N
3
|
+…+
1
N
n
N
n+1
+…
=
p
3
2(1-
p
2
)
1-
p
2
=
p
3
2
(1-
p
2
)
2
.
举一反三
已知抛物线y
2
=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:青岛一模
难度:
|
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与抛物线E:y=ax
2
相切于坐标原点的最大的圆的方程为( )
A.x
2
+(y-a)
2
=a
2
B.x
2
+(y-
)
2
=(
)
2
C.x
2
+(y-
)
2
=(
)
2
D.x
2
+(y-
)
2
=(
)
2
题型:宜宾一模
难度:
|
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抛物线y
2
=2px与直线ax+y-4=0交于A、B两点,其中点A的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于( )
A.7
B.
3
C.6
D.5
题型:不详
难度:
|
查看答案
抛物线x
2
=8y 求其焦点坐标及其准线方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
经过抛物线y
2
=4x的焦点作直线交该抛物线于A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)两点,如果|AB|=8,那么x
1
+x
2
=( )
A.4
B.6
C.8
D.10
题型:不详
难度:
|
查看答案
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