解:(1)依题意,可设抛物线C的方程为:y2=2px(p>0)
∵抛物线C过点(1,2),
∴22=2p,解得p=2
∴抛物线C的方程为:y2=4x。
(2)关于抛物线C的类似命题为:过抛物线y2=4x的焦点F(1,0)作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A,B两点,线段A的垂直平分线交x轴于点M,则为定值,且定值是2。
证明如下: 设直线AB的方程为x=ty+1(t≠0),代入y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0
因为Δ=16t2+16>0,可设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4,x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,
所以线段AB中点P的坐标为(2t2+1,2t),
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t= -t(x-2t2-1),
令y=0,解得x=2t2+3,即M(2t2+3,0),
所以|FM|=2t2+2
由抛物线定义可知|AB|=x1+x2+2=4t2+4,
所以。
(3)过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l交抛物线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交对称轴于点M,则为定值,且定值是2。
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