已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为,与圆的交点为,为的中点,求的最大值.
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已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为,与圆的交点为,为的中点,求的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
已知圆
经过椭圆
的右焦点
和上顶点
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过原点
的射线
与椭圆
在第一象限的交点为
,与圆
的交点为
,
为
的中点,求
的最大值.
答案
(1)
;(2)
.
解析
试题分析:本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识,考查直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算求解能力、推理论证能力;考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想.第一问,数形结合,令y=0,x=0即可分别求出c和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出直线方程和P、Q点坐标,令直线与椭圆联立得到Q点横坐标,利用向量的数量积,将P、Q点坐标代入,得到关于k的表达式,利用导数求函数的最值;法二,将
进行转化,变成
,再利用配方法求最值.
试题解析:(1)在
中,
令
得
,即
,令
,得
,即
, 2分
由
,∴椭圆
:
. 4分
(2)法一:依题意射线
的斜率存在,设
,设
-5分
得:
,∴
. 6分
得:
,∴
, 7分
∴
. 9分
.
设
,
,
令
,得
.
又
,∴
在
单调递增,在
单调递减. 11分
∴当
时,
,即
的最大值为
. 13分
法二:依题意射线
的斜率存在,设
,设
5分
得:
,∴
. 6分
=
9分
.
设
,则
.
当且仅当
即
.
法三:设点
,
,
6分
=
. 7分
又
,
设
与
联立得:
. 9分
令
. 11分
又点
在第一象限,∴当
时,
取最大值
. 13分
举一反三
已知曲线C上任意一点P到两定点F
1
(-1,0)与F
2
(1,0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间),N为BC中点.
(ⅰ)证明:k·k
ON
为定值;
(ⅱ)是否存在实数k,使得F
1
N⊥AC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
,双曲线
(a>0,b>0),若以C
1
的长轴为直径的圆与C
2
的一条渐近线交于A,B两点,且C
1
与该渐近线的两交点将线段AB三等分,则C
2
的离心率为( )
A.5
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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