试题分析:(1)利用线段的垂直平分线交直线于点,当时,根据椭圆的定义,即可求出轨迹的方程;(2)当时,轨迹必为椭圆方程,设,分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,,根据求出E若存在必为定值为6.再进行证明.存在性问题,先猜后证是关键.再设设过点E的直线方程,代入椭圆方程,消去,设,,利用一元二次方程的根与系数的关系,求得为定值6. (1)由题意,,所以, 所以轨迹是以、为焦点,以为长轴的椭圆, 其方程为.(4分) (2)由(1)当时,曲线C为, 设,分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,, 则,即 解得,所以E若存在必为定值为6. (6分) 下证满足题意. 设过点E的直线方程为,代入C中得: ,设, 则 (8分)
(13分) 同理可得E也满足题意. 综上得定点为E,定值为(14分) |