试题分析:设椭圆的右焦点为E.如图:
由椭圆的定义得:△FAB的周长:AB+AF+BF=AB+(4a-AE)+(4a-BE)=8a+AB-AE-BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号; ∴AB+AF+BF=8a+AB-AE-BE≤8a; 即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大; 此时△FAB的高为:EF=2a. 此时直线x=m=c=1; 把x=1代入椭圆的方程得:y=±. ∴AB=3a.所以:△FAB的面积等于:S△FAB= ×3a×EF=×3a×2a=3a2故答案为3a2 点评:中档题,在解决涉及到圆锥曲线上的“焦点三角形”问题时,圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式. |