(本题满分14分)在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)记的轨迹的方程为,过点作两条

(本题满分14分)在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)记的轨迹的方程为,过点作两条

题型:不详难度:来源:
(本题满分14分)
在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段轴的交点, .
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦,设 的中点分别为.求证:直线必过定点
答案

(1)
(2)直线恒过定点
解析
解:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且,∴是线段的垂直平分线.
是点到直线的距离.
∵点在线段的垂直平分线,∴
故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:
(Ⅱ)设,直线AB的方程为
 则
(1)—(2)得,即
代入方程,解得.      
所以点M的坐标为
同理可得:的坐标为
直线的斜率为,方程为
,整理得
显然,不论为何值,均满足方程,
所以直线恒过定点
举一反三
经过一定圆外一定点,并且与该圆外切的动圆圆心的轨迹是             (     )
A.圆B.椭圆C.直线D.双曲线的一支

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平面内到两定点的距离之和为4的点M的轨迹是      (    )
A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对

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与圆外切且与圆内切的动圆圆心轨迹
                
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(本题14分) 设直线(其中为整数)与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
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方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)在同一坐标系中的图象大致是                  (     )

A                   B                    C                   D
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