(满分12分)直线l 与抛物线y2 = 4x 交于两点A、B,O 为原点,且= -4.(I)       求证:直线l 恒过一定点;(II)     若 4≤|

(满分12分)直线l 与抛物线y2 = 4x 交于两点A、B,O 为原点,且= -4.(I)       求证:直线l 恒过一定点;(II)     若 4≤|

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(满分12分)直线l 与抛物线y2 = 4x 交于两点ABO 为原点,且= -4.
(I)       求证:直线l 恒过一定点;
(II)     若 4≤| AB | ≤,求直线l 斜率k 的取值范围;
(Ⅲ) 设抛物线的焦点为F,∠AFB = θ,试问θ 能否等于120°?若能,求出相应的直线l 的方程;若不能,请说明理由.
答案
(Ⅰ)见解析
(Ⅱ) kÎ [-1, -]∪[ , 1 ].
(Ⅲ)见解析 
解析
(I) 1°若直线l x 轴不垂直,
设其方程为y = kx + bl 与抛物线y2 = 4x 的交点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),
由·= -4 得x1x2 + y1y2 = -4,即+ y1y2 = -4,
y1y2 = -8.        1分
又由得ky2-4y + 4b =" 0" (k≠ 0).
y1y2 = = -8,即b = -2k,      2分]
则直线l 的方程为y = k (x-2),则直线l 过定点 (2, 0).        3分
2°若直线lx 轴,易得x1 = x2 = 2,则l 也过定点 (2, 0).
综上,直线l 恒过定点 (2, 0).    4分
(II) 由 (I) 得 | AB | 2 =" (1" + )(y2y1) 2 = ( + 32)         6分
从而 6 ≤( + 2) ≤ 30. 7分
解得kÎ [-1, -]∪[ , 1 ].          8分
(III) 假定θ = p,则有cosθ = -,
如图,即= - (*)           9分
由 (I) 得y1y2 = -8,x1x2 = = 4.
由定义得 | AF | = x1 + 1,| BF | = x2 + 1.
从而有 | AF | 2 + | BF | 2-| AB | 2 = (x1 + 1) 2 + (x2 + 1) 2-(x1x2) 2-(y1y2) 2
= -2 (x1 + x2)-6,        12分
| AF |·| BF | = (x1 + 1) (x2 + 1) = x1x2 + x1 + x2 + 1 = x1 + x2 + 5
将代入 (*) 得= -,即x1 + x2 + 1 = 0.
这与x1 > 0 且x2 > 0 相矛盾!      13分
经检验,当ABx 轴时,θ =" 2" arctan 2> p
综上,θp.    14分
举一反三
已知分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线上的一点,若构成公差为正数的等差数列,则的面积为
A.B.C.  D.

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如右图是高尔顿板的改造装置,当小球从自由下落时,进入槽口处的概率为  
A.B.C.D.

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(本小题满分14分)
已知焦点在x轴上,离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线的焦点,过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点,交y轴于点M,且
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:为定值。
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已知椭圆与抛物线有相同的焦点,点A是两曲线的交点,且轴,则椭圆的离心率是 (   )
A.B.C.D.

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(13分)已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率,且其中一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S(,0)的动直线l交椭圆CA、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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