(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)现有变换公式:可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.(1)若椭圆的中心为坐标原点,焦
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(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)现有变换公式:可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.(1)若椭圆的中心为坐标原点,焦
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)
现有变换公式
:
可把平面直角坐标系上的一点
变换到这一平面上的一点
.
(1)若椭圆
的中心为坐标原点,焦点在
轴上,且焦距为
,长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆
的标准方程,并求出其两个焦点
、
经变换公式
变换后得到的点
和
的坐标;
(2) 若曲线
上一点
经变换公式
变换后得到的点
与点
重合,则称点
是曲线
在变换
下的不动点. 求(1)中的椭圆
在变换
下的所有不动点的坐标;
(3) 在(2)的基础上,试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换
下的不动点的存在情况和个数.
答案
略
解析
(1)设椭圆
的标准方程为
(
),由椭圆定义知焦距
,即
…①.
又由条件得
…②,故由①、②可解得
,
.
即椭圆
的标准方程为
.
且椭圆
两个焦点的坐标分别为
和
.
对于变换
:
,当
时,可得
设
和
分别是由
和
的坐标由变换公式
变换得到.于是,
,即
的坐标为
;
又
即
的坐标为
.
(2)设
是椭圆
在变换
下的不动点,则当
时,
有
,由点
,即
,得:
,因而椭圆
的不动点共有两个,分别为
和
.
(3)由(2)可知,曲线
在变换
下的不动点
需满足
.
情形一:据题意,不妨设椭圆方程为
(
),
则有
.
因为
,所以
恒成立,因此椭圆在变换
下的不动点必定存在,且一定有2个不动点.
情形二:设双曲线方程为
(
),
则有
,
因为
,故当
时,方程
无解;
当
时,故要使不动点存在,则需
,
因此,当且仅当
时,双曲线在变换
下一定有2个不动点.否则不存在不动点.
进一步分类可知,
(i) 当
,
时,
.
即双曲线的焦点在
轴上时,需满足
时,双曲线在变换
下一定有2个不动点.否则不存在不动点.
(ii) 当
,
时,
.
即双曲线的焦点在
轴上时,需满足
时,双曲线在变换
下一定有2个不动点.否则不存在不动点.
举一反三
把曲线
按向量
平移后得到曲线
,曲线
有一条准线方程为
,则
的值为____________,离心率
为_________.
题型:不详
难度:
|
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已知点
分别是双曲线的两个焦点,P为该曲线上一点,若
为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为____________.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知A、B分别为曲线C:
与
x
轴的左右两个交点,直线
l
过点B且
x
轴垂直,M为
l
上的一点,连结AM交曲线C于点T。
(I)当
,求点T坐标;
(II)点M在x轴上方,若
的面积为2,当
的面积的最大值为
时,求曲线C的离心率
e
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知
是双曲线
的左、右焦点,过
且垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点,若
为钝角三角形,则该双曲线的离心率
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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