在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-3,0),(3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.(1)求
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在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-3,0),(3,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.(1)求
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-
3
,0),(
3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若AB中点横坐标为-
1
2
,求直线AB的方程;
(3)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由.
答案
(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(-
3
,0),(
3
,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆.
故曲线C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB中点横坐标为y,则
x
1
2
4
+
y
1
2
=1
,
x
2
2
4
+
y
2
2
=1
两方程相减可得
(
x
1
+
x
2
)(
x
1
-
x
2
)
4
+(
y
1
+
y
2
)(
y
1
-
y
2
)=0
∵直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点,AB中点横坐标为-
1
2
,
∴
-(
x
1
-
x
2
)
4
+2y(
y
1
-
y
2
)=0
∴
-1
4
+2y•
y
-
1
2
+1
=0
∴
y=±
1
4
∴直线AB的斜率为k=
±
1
2
∴直线AB的方程为y=
±
1
2
(x+1);
(3)存在△AOB面积的最大值.
因为直线l过点E(-1,0),可设直线l的方程为x=my-1.
代入椭圆方程整理得(m
2
+4)y
2
-2my-3=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),解得y
1
=
m+2
m
2
+3
m
2
+4
,
y
2
=
m-2
m
2
+3
m
2
+4
.
则|y
2
-y
1
|=
4
m
2
+3
m
2
+4
.
∴S
△AOB
=
1
2
|OE||
y
2
-
y
1
|
=
2
m
2
+3
m
2
+4
设t=
m
2
+3
(t
≥
3
),则g(t)=
2
t+
1
t
∵y=
t+
1
t
在区间[
3
,+∞)上为增函数.
∴
t+
1
t
≥
4
3
3
.
∴
S
△AOB
≤
3
2
,当且仅当m=0时取等号,
∴S
△AOB
的最大值为
3
2
.
举一反三
已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴正半轴上,倾斜角为锐角的直线l过F点,设直线l与抛物线交于A、B两点,与抛物线的准线交于M点,
MF
=λ
FB
(λ>0)
(1)若λ=1,求直线l斜率
(2)若点A、B在x轴上的射影分别为A
1
,B
1
且|
B
1
F
|,|
OF
|,2|
A
1
F
|成等差数列求λ的值
(3)设已知抛物线为C1:y
2
=x,将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C
1
′.圆C2:x
2
+(y-4)
2
=1的圆心为点N.已知点P是抛物线C
1
′上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C′
1
于T,S,两点,若过N,P两点的直线l垂直于TS,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y
2
=2x相交于A、B两点,且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
①求证:直线L过定点;
②求点E的轨迹方程.
题型:不详
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|
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如图,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米,问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(4,4),圆C:(x-m)
2
+y
2
=5(m<3)与椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
有一个公共点A(3,1),F
1
,F
2
分别是椭圆的左右焦点,直线PF
1
与圆C相切.
(1)求m的值;
(2)求椭圆E的方程.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F:(x-2)
2
+y
2
=1的点的最小距离.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)已知过点F的直线与点M的轨迹交于A,B两点,且|AF|=8,求|BF|的长.
题型:不详
难度:
|
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