①令直线ty=x-b(b≠0)与抛物线y2=2x相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(给直线方程给分)…(1分) 由得:y2-2ty-2b=0…(2分) 于是,y1、y2是此方程的两实根,由韦达定理得:y1+y2=2ty1y2=-2b…(3分) x1x2=(ty1+b)(ty2+b)=t2y1y2+tb(y1+y2)+b2=b2…(4分) 又OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0…(5分) ∴b2-2b=0,又b≠0, ∴b=2…(6分) 故直线L:ty=x-2过定点C(2,0)…(8分) ②∵O(0,0),C(2,0),OE⊥CE…(9分) ∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O,…(11分) 故点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0)…(12分) 说明:直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣(2分);轨迹方程中没有限制x≠0扣(1分). |