已知椭圆C的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1；（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若A，B，C是椭圆上的三个点

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为

3

2

，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1；
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点，当点B是椭圆C的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积．
（Ⅲ）设点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁、PF₂，设∠F₁PF₂的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

答案

（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．F₁（-c，0），F₂（c，0）．
令x=-c，代入椭圆方程可得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∵过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴

2b2

a

=1，
由离心率为

3

2

，可得

c

a

=

3

2

．联立

2b2 a =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得

a=2b=2 c= 3

．
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（II）由点B是椭圆C的右顶点，∴B（2，0）．又四边形OABC为菱形，取对角线OB的中点Q，则Q（1，0）．
把x=1，代入椭圆的方程得

1

4

+y2=1，解得y=±

3

2

．
取A(1，

3

2

)，C(1，-

3

2

)．
∴|AC|=2×

3

2

=

3

．
∴S_菱形OABC=

1

2

|AC|•|OB|=

1

2

×

3

×2=

3

．
（III）由角平分线的性质可得

|PF1|

|PF2|

=

|MF1|

|F2M|

=

m+c

c-m

=

m+ 3

3 -m

，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴

4-|PF2|

|PF2|

=

3 +m

3 -m

，解得

2

|PF2|

=

3

3 -m

．
解得|PF₂|=

2( 3 -m)

3

．
∵a-c＜|PF₂|＜a+c，
∴2-

3

＜

2( 3 -m)

3

＜2+

3

，
解得-

3

2

＜m＜

3

2

，
∴m的取值范围是(-

3

2

，

3

2

)．