已知抛物线C的顶点在坐标原点,以坐标轴为对称轴,且准线方程为x=-1.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A,B两点,如果要同时满
题型:不详难度:来源:
已知抛物线C的顶点在坐标原点,以坐标轴为对称轴,且准线方程为x=-1. (1)求抛物线C的标准方程; (2)过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A,B两点,如果要同时满足:①|AB|≤8;②直线l与椭圆3x2+2y2=2有公共点,试确定直线l倾斜角的取值范围. |
答案
(1)由题意可设抛物线C的方程为y2=2px,(p>0),∵准线方程为x=-1,∴-=-1,解得p=2. ∴抛物线C的标准方程为y2=4x; (2)由抛物线C的标准方程y2=4x,可得焦点F(1,0). 设直线l倾斜角为α,以下分类讨论: (i)当直线l⊥x轴时,弦长|AB|=2p=4.满足:①|AB|≤8; ②联立,无解,因此不满足条件直线l与椭圆3x2+2y2=2有公共点,故直线l倾斜角α≠. (ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1).(k≠0). 联立,化为k2x2-(2k2+4)x+k2=0.∴x1+x2=, ∴|AB|=x1+x2+p=+2≤8,化为k2≥1.① 联立,化为(3+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 若直线l与椭圆3x2+2y2=2有公共点,则△=16k4-4(3+2k2)(2k2-2)≥0,化为k2≤3,②. 联立①②可得:1≤k2≤3,解得-≤k≤-1或1≤k≤. ∴≤α≤或≤α≤. |
举一反三
若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点,则过点P(m,n)的一条直线与椭圆+=1的公共点的个数是( ) |
已知点(1,1)是椭圆+=1某条弦的中点,则此弦所在的直线方程为:______. |
若点P到点F(,0)的距离与它到直线x+=0的距离相等. (1)求P点轨迹方程C, (2)A点是曲线C上横坐标为8且在X轴上方的点,过A点且斜率为1的直线l与C的另一个交点为B,求C与l所围成的图形的面积. |
如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动. (1)当m=1时,求椭圆C2的方程; (2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
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已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且•=0,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆的方程; (2)如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,则总存在实数λ,使=λ,请给出证明.
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