已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC•BC=0，|BC|=2|AC|．（1）求椭圆的方程；（2）如果椭

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已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且

•

=0，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使

=λ

，请给出证明．

答案

（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
则A（2，0），设所求椭圆的方程为：x2+

=4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，
由

•

=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴1+

=4，
∴b²=

，所求的椭圆方程为x²+3y²=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），
不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
直线PC的方程为：y=k（x-1）+1，直线QC的方程为y=-k（x-1）+1，
由

y=k(x-1)+1

x2+3y2-4=0

得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为

3k2-6k-1

1+3k2

，设P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），x_P=

3k2-6k-1

1+3k2

，同理x_Q=

3k2+6k-1

1+3k2

，
k_PQ=

yp-yQ

xP-xQ

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

3k2-6k-1

1+3k2

3k2+6k-1

1+3k2

)-2k

3k2-6k-1

1+3k2

3k2+6k-1

1+3k2

而由对称性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴k_AB=

，
∴k_PQ=k_AB，
∴

与

共线，且

≠0，即存在实数λ，使

=λ

．

举一反三

已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=

的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

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已知椭圆E：

=1（a＞

）的离心率e=

．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

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已知过抛物线x²=4y的焦点，斜率为k（k＞0）的直线l交抛物线于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=8．
（1）求直线l的方程；
（2）若点C（x₃，y₃）是抛物线弧AB上的一点，求△ABC面积的最大值，并求出点C的坐标．

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在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-

，0），（

，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-

，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

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已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

=λ

（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁且|

B1F

|，|

|，2|

A1F

|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y²=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C₁′．圆C2：x²+（y-4）²=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C₁′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′₁于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．

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