已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且AC•BC=0,|BC|=2|AC|.(1)求椭圆的方程;(2)如果椭

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且AC•BC=0,|BC|=2|AC|.(1)求椭圆的方程;(2)如果椭

题型:不详难度:来源:
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且


AC


BC
=0
,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆的方程;
(2)如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO,则总存在实数λ,使


PQ


AB
,请给出证明.
答案
(1)以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,
则A(2,0),设所求椭圆的方程为:x2+
y2
b2
=4(0<b<1),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,


AC


BC
=0得AC⊥BC,
∵|BC|=2|AC|,
∴|OC|=|AC|,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴C的坐标为(1,1),
∵C点在椭圆上
1+
1
b2
=4,
∴b2=
1
3
,所求的椭圆方程为x2+3y2=4.
(Ⅱ)由于∠PCQ的平分线垂直OA(即垂直于x轴),
不妨设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,
直线PC的方程为:y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,





y=k(x-1)+1
x2+3y2-4=0
得:(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*)
∵点C(1,1)在椭圆上,
∴x=1是方程(*)的一个根,则其另一根为
3k2-6k-1
1+3k2
,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),xP=
3k2-6k-1
1+3k2
,同理xQ=
3k2+6k-1
1+3k2

kPQ=
yp-yQ
xP-xQ
=
k(xP+xQ)-2k
xP-xQ
=
k(
3k2-6k-1
1+3k2
+
3k2+6k-1
1+3k2
)-2k
3k2-6k-1
1+3k2
-
3k2+6k-1
1+3k2
=
1
3

而由对称性知B(-1,-1),又A(2,0),
∴kAB=
1
3

∴kPQ=kAB


AB


PQ
共线,且


AB
≠0,即存在实数λ,使


PQ


AB
举一反三
已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=


21
3
的双曲线过点P(6,6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问:是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论.
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已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a


3
)的离心率e=
1
2
.直线x=t(t>0)与曲线 E交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆 C,圆心为 C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.
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已知过抛物线x2=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.
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在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-


3
,0),(


3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若AB中点横坐标为-
1
2
,求直线AB的方程;
(3)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由.
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已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴正半轴上,倾斜角为锐角的直线l过F点,设直线l与抛物线交于A、B两点,与抛物线的准线交于M点,


MF


FB
(λ>0)
(1)若λ=1,求直线l斜率
(2)若点A、B在x轴上的射影分别为A1,B1且|


B1F
|,|


OF
|,2|


A1F
|成等差数列求λ的值
(3)设已知抛物线为C1:y2=x,将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′.圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点N.已知点P是抛物线C1′上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C′1于T,S,两点,若过N,P两点的直线l垂直于TS,求直线l的方程.
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