已知椭圆E:x2a2+y23=1(a>3)的离心率e=12.直线x=t(t>0)与曲线 E交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆 C,圆心为 C.(1)求
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已知椭圆E:x2a2+y23=1(a>3)的离心率e=12.直线x=t(t>0)与曲线 E交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆 C,圆心为 C.(1)求
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
3
=1
(a
>
3
)的离心率e=
1
2
.直线x=t(t>0)与曲线 E交于不同的两点M,N,以线段MN 为直径作圆 C,圆心为 C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABC的面积的最大值.
答案
(1)∵椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
3
=1
(a
>
3
)的离心率e=
1
2
,
∴
a
2
-3
a
=
1
2
,解得a=2.
∴椭圆E的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(2)依题意,圆心C(t,0)(0<t<2).
由
x=t
x
2
4
+
y
2
3
=1
,得
y
2
=
12-3
t
2
4
.
∴圆C的半径为r=
12-3
t
2
2
.
∵圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且圆心C到y轴的距离d=t,
∴0<t<
12-3
t
2
2
,即0<t<
2
21
7
.
∴弦长|AB|=2
r
2
-
d
2
=2
12-3
t
2
4
-
t
2
=
12-7
t
2
.
∴△ABC的面积S=
1
2
•t•
12-7
t
2
=
1
2
7
×(
7
t)•
12-7
t
2
≤
1
2
7
×
(
7
t
)
2
+12t-7
t
2
2
=
3
7
7
.
当且仅当
7
t=
12-7
t
2
,即
t=
42
7
时等号成立.
所以△ABC的面积的最大值为
3
7
7
.
举一反三
已知过抛物线x
2
=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x
1
,y
2
),B(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x
3
,y
3
)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(-
3
,0),(
3
,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线C,直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)若AB中点横坐标为-
1
2
,求直线AB的方程;
(3)是否存在△AOB面积的最大值,若存在,求出△AOB的面积;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴正半轴上,倾斜角为锐角的直线l过F点,设直线l与抛物线交于A、B两点,与抛物线的准线交于M点,
MF
=λ
FB
(λ>0)
(1)若λ=1,求直线l斜率
(2)若点A、B在x轴上的射影分别为A
1
,B
1
且|
B
1
F
|,|
OF
|,2|
A
1
F
|成等差数列求λ的值
(3)设已知抛物线为C1:y
2
=x,将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C
1
′.圆C2:x
2
+(y-4)
2
=1的圆心为点N.已知点P是抛物线C
1
′上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C′
1
于T,S,两点,若过N,P两点的直线l垂直于TS,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y
2
=2x相交于A、B两点,且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
①求证:直线L过定点;
②求点E的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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