已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=213的双曲线过点P（6，6）．（1）求双曲线方程．（2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的

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已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e=

的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

答案

（1）根据题意，双曲线的离心率e=

，
则

，可得

；
设双曲线方程为

=λ，λ≠0；
由已知，双曲线过点P（6，6），
将其坐标代入方程，解可得λ=1，
则a²=9，b²=12．
所以所求双曲线方程为

=1；

（2）P、A₁、A₂的坐标依次为（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐标为（2，2）
假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∴l的方程为y=m（x-2）+2，
与双曲线方程联立消去y，
整理得x²-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直线l不存在．

举一反三

已知椭圆E：

=1（a＞

）的离心率e=

．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．

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已知过抛物线x²=4y的焦点，斜率为k（k＞0）的直线l交抛物线于A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|=8．
（1）求直线l的方程；
（2）若点C（x₃，y₃）是抛物线弧AB上的一点，求△ABC面积的最大值，并求出点C的坐标．

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在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-

，0），（

，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-

，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

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已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

=λ

（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁且|

B1F

|，|

|，2|

A1F

|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y²=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C₁′．圆C2：x²+（y-4）²=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C₁′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′₁于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．

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已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

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