椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：x-1-y=0与椭圆C交于不同

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椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：x-1-y=0与椭圆C交于不同

题型：不详难度：来源：
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，求|MN|的值．
答案
（1）由条件a=2b，所以C：
x2
4b2
+
y2
b2
=1，代入点（2，1）可得b=


2
，
椭圆C的标准方程为
x2
8
+
y2
2
=1；
（2）联立





x-1-y=0
x2
8
+
y2
2
=1
，得5x2-8x-4=0，
所以x1+x2=
8
5
，x1x2=-
4
5

由相交弦长公式可得|MN|=


1+12
|x1-x2|．
=


2


(x1+x2)2-4x1x2
=


2


(
8
5
)2-4×(-
4
5
)
=
12


2
5
．
举一反三
己知斜率为1的直线l与双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
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若AB为抛物线y2=2px（p＞0）的动弦，且|AB|=a（a＞2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是（　　）
A．
a
2
B．
p
2
C．
a+p
2
D．
a-p
2
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长度为a的线段AB的两个端点A、B都在抛物线y2=2px（p＞0，a＞2p）上滑动，则线段AB的中点M到y轴的最短距离为______．
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如图，椭圆Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
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直线y=x+2与双曲线
x2
m
-
y2
3
=1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0
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