已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．

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已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______．

答案

如图所示，可知A(-

，a)，B(

，a)，

设C（m，m²），

=(m+

，m2-a)，

=(m-

，m2-a)．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴

•

=(m+

)(m-

)+(m2-a)2=0．
化为m²-a+（m²-a）²=0．
∵m≠

，∴m²=a-1≥0，解得a≥1．
∴a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x²+y²=1上任一点，使

．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA²+OB²的值．

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椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，长轴端点与短轴端点间的距离为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若OE⊥OF，求直线l的斜率．

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已知两条抛物线y₁=x²+2mx+4，y₂=x²+mx-m中至少有一条与x轴有公共点，则实数m的取值范围是______．

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已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．

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如图，已知圆C₁的方程为(x-2)2+(y-1)2=

，椭圆C₂的方程为

=1（a＞b＞0），C₂的离心率为

，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程．

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