椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,长轴端点与短轴端点间的距离为5.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点
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椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,长轴端点与短轴端点间的距离为5.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点
题型:不详
难度:
来源:
椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,长轴端点与短轴端点间的距离为
5
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE⊥OF,求直线l的斜率.
答案
(Ⅰ)由已知
c
a
=
3
2
,a
2
+b
2
=5,…(2分)
又a
2
=b
2
+c
2
,解得a
2
=4,b
2
=1,
所以椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.…(3分)
(Ⅱ)根据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,…(4分)
代入椭圆方程,消去y得((1+4k
2
)x
2
+32kx+60=0,…(5分)
所以△=(32k)
2
-240(1+4k
2
)=64k
2
-240,
令△>0,解得
k
2
>
15
4
.…(6分)
设E,F两点的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
则x
1
+x
2
=-
32k
1+4
k
2
,
x
1
x
2
=
60
1+4
k
2
,…(7分)
因为OE⊥OF,所以
OE
•
OF
=0,即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,…(8分)
所以(1+k
2
)x
1
x
2
+4k(x
1
+x
2
)+16=0,
所以
15×(1+
k
2
)
1+4
k
2
-
32
k
2
1+4
k
2
+4=0
,解得k=
±
19
.…(10分)
所以直线l的斜率为k=
±
19
.…(12分)
举一反三
已知两条抛物线y
1
=x
2
+2mx+4,y
2
=x
2
+mx-m中至少有一条与x轴有公共点,则实数m的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆焦距为2,离心率为
1
2
(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线l过点(1,2)且倾斜角为45°且与椭圆相交于A,B两点,求弦长|AB|.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知圆C
1
的方程为
(x-2
)
2
+(y-1
)
2
=
20
3
,椭圆C
2
的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),C
2
的离心率为
2
2
,如果C
1
与C
2
相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C
1
的直径,求直线AB的方程和椭圆C
2
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直.l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18
B.24
C.36
D.48
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F
1
,F
2
,且|F
1
F
2
|=2,点(1,
3
2
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F
1
的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF
2
B的面积为
12
2
7
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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