已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,32)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1的直线l与椭圆C

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,32)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1的直线l与椭圆C

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,
3
2
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为
12


2
7
,求直线l的方程.
答案
(1)由题意可设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
由|F1F2|=2得c=1,∴F1(-1,0),F2(1,0),
又点(1,
3
2
)在椭圆C上,∴2a=


(1+1)2+(
3
2
)2
+


(1-1)2+(
3
2
)2
=4
,a=2.则b2=a2-c2=4-1=3.
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)如图,
设直线l的方程为x=ty-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
把x=ty-1代入
x2
4
+
y2
3
=1
,得:(3t2+4)y2-6ty-9=0





y1+y2=
6t
3t2+4
y1y2=
-9
3t2+4

|y1-y2|=


(y1+y2)2-4y1y2
=


(
6t
3t2+4
)2-4×
-9
(3t2+4)
=
12


t2+1
3t2+4

S=
1
2
|F1F2||y1-y2|=
12


t2+1
3t2+4
=
12


2
7

解得:t2=-
17
18
(舍)或t2=1,t=±1.
故所求直线方程为:x±y+1=0.
举一反三
已知椭圆C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右顶点为P(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设抛物线C2:y=x2+h(h∈R)的焦点为F,过F点的直线l交抛物线与A、B两点,过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点,且Q点在椭圆C1上,求△ABQ面积的最值,并求出取得最值时的抛物线C2的方程.
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设椭圆方程为x2+
y2
4
=1
,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足


OP
=
1
2
(


OA
+


OB
)
,点N的坐标为(
1
2
1
2
)
,当l绕点M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)|


NP
|
的最小值与最大值.
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设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2
(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.
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已知两点F1(-


2
,0)
F2(


2
,0)
,满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果|AB|=6


3
,求直线l的方程.
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直线L:
x
4
+
y
3
=1与椭圆E:
x2
16
+
y2
9
=1相交于A,B两点,该椭圆上存在点P,使得△PAB的面积等于3,则这样的点P共有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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