已知两点F1(-2,0),F2(2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.(Ⅰ)求k的取值
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已知两点F1(-2,0),F2(2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.(Ⅰ)求k的取值
题型:不详
难度:
来源:
已知两点
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,满足条件|PF
2
|-|PF
1
|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果
|AB|=6
3
,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)由双曲线的定义可知,
曲线E是以
F
1
(-
2
,0),
F
2
(
2
,0)
为焦点的双曲线的左支
且
c=
2
,a=1
,易知b=1.
故曲线E的方程为x
2
-y
2
=1(x<0)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),由题意建立方程组
y=kx-1
x
2
-
y
2
=1
消去y,得(1-k
2
)x
2
+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,则
1-
k
2
≠0
△=
(2k)
2
+8(1-
k
2
)>0
x
1
+
x
2
=
-2k
1-
k
2
<0
x
1
x
2
=
-2
1-
k
2
>0
解得
-
2
<k<-1
.
即k的取值范围是
-
2
<k<-1
.(6分)
(Ⅱ)∵
|AB|=
1+
k
2
•|
x
1
-
x
2
|
=
1+
k
2
•
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
1+
k
2
•
(
-2k
1-
k
2
)
2
-4×
-2
1-
k
2
=
2
(1+
k
2
)(2-
k
2
)
(1-
k
2
)
2
(8分)
依题意得
2
(1+
k
2
)(2-
k
2
)
(1-
k
2
)
2
=6
3
,
整理后得28k
4
-55k
2
+25=0,解得
k
2
=
5
7
或
k
2
=
5
4
又
-
2
<k<-1
,∴
k=-
5
2
,
故直线AB的方程为
5
2
x+y+1=0
.
举一反三
直线L:
x
4
+
y
3
=1与椭圆E:
x
2
16
+
y
2
9
=1相交于A,B两点,该椭圆上存在点P,使得△PAB的面积等于3,则这样的点P共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2
2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
x
2
a
2
+
y
2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
两渐近线为l
1
、l
2
,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l
1
,又设l与l
2
交于点P,l与C两交点自上而下依次为A、B;
(1)当l
1
与l
2
夹角为
π
3
,双曲线焦距为4时,求椭圆C的方程及其离心率;
(2)若
FA
=λ
AP
,求λ的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点
A(1,
3
2
)
到焦点F
1
、F
2
的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线y
2
=4x被直线y=2x+b所截得的弦长为3
5
,则b=______.
题型:不详
难度:
|
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