已知两点F1(-2,0),F2(2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.(Ⅰ)求k的取值

已知两点F1(-2,0),F2(2,0),满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.(Ⅰ)求k的取值

题型:不详难度:来源:
已知两点F1(-


2
,0)
F2(


2
,0)
,满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果|AB|=6


3
,求直线l的方程.
答案
(Ⅰ)由双曲线的定义可知,
曲线E是以F1(-


2
,0),F2(


2
,0)
为焦点的双曲线的左支
c=


2
,a=1
,易知b=1.
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0)
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组





y=kx-1
x2-y2=1

消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,则





1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
解得-


2
<k<-1

即k的取值范围是-


2
<k<-1
.(6分)
(Ⅱ)∵|AB|=


1+k2
•|x1-x2|

=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2

=


1+k2


(
-2k
1-k2
)
2
-4×
-2
1-k2

=2


(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
(8分)
依题意得2


(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6


3

整理后得28k4-55k2+25=0,解得k2=
5
7
k2=
5
4

-


2
<k<-1
,∴k=-


5
2

故直线AB的方程为


5
2
x+y+1=0

举一反三
直线L:
x
4
+
y
3
=1与椭圆E:
x2
16
+
y2
9
=1相交于A,B两点,该椭圆上存在点P,使得△PAB的面积等于3,则这样的点P共有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2


2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
两渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又设l与l2交于点P,l与C两交点自上而下依次为A、B;
(1)当l1与l2夹角为
π
3
,双曲线焦距为4时,求椭圆C的方程及其离心率;
(2)若


FA


AP
,求λ的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点A(1,


3
2
)
到焦点F1、F2的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.
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设抛物线y2=4x被直线y=2x+b所截得的弦长为3


5
,则b=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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