已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点A(1,32)到焦点F1、F2的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.(2)过点Q(1,0)的直线
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点A(1,32)到焦点F1、F2的距离之和等于4.(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.(2)过点Q(1,0)的直线
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点
A(1,
3
2
)
到焦点F
1
、F
2
的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.
答案
(1)设椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)
∵椭圆上的点
A(1,
3
2
)
到焦点F
1
、F
2
的距离之和等于4,
∴
2a=4
1
a
2
+
3
4
b
2
=1
,
∴a=2,b=1
∴c=
a
2
-
b
2
=
3
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
,焦点坐标为
(-
3
,0)
,
(
3
,0)
;
(2)MN斜率不为0,设MN方程为x=my+1.
联立椭圆方程:
x
2
4
+
y
2
=1
可得(m
2
+4)y
2
+2my-3=0
记M、N纵坐标分别为y
1
、y
2
,
则
S△OMN=
1
2
|OQ|×|
y
1
-
y
2
|=
1
2
×1×
16
m
2
+48
m
2
+4
=
2
m
2
+3
m
2
+4
设
t=
m
2
+3
(t≥3)
则
S=
2t
t
2
+1
=
2
t+
1
t
(t≥
3
)
,该式在
[
3
,+∞)
单调递减,
∴在
t=
3
,即m=0时S取最大值
3
2
.
综上,直线MN的方程为x=1.
举一反三
设抛物线y
2
=4x被直线y=2x+b所截得的弦长为3
5
,则b=______.
题型:不详
难度:
|
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已知点D(0,-2),过点D作抛物线C
1
:x
2
=2py(p>0)的切线l,切点A在第二象限,如图
(Ⅰ)求切点A的纵坐标;
(Ⅱ)若离心率为
3
2
的椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
恰好经过切点A,设切线l交椭圆的另一点为B,记切线l,OA,OB的斜率分别为k,k
1
,k
2
,若k
1
+2k
2
=4k,求椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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直线y=x-1被y
2
=x截得的弦长为( )
A.3
B.
2
3
C.
10
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,是否存在直线l,使得OA⊥OB,O为坐标原点,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线C
1
:x
2
=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C
2
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,C
1
与C
2
在第一象限的交点为P(
3
,
1
2
)
(1)求抛物线C
1
及椭圆C
2
的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C
2
交于不同两点A、B,点M满足
AM
+
BM
=
0
,直线FM的斜率为k
1
,试证明k•k
1
>
-1
4
.
题型:不详
难度:
|
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