已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;(Ⅱ)过左焦点F的直线
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已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合.(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;(Ⅱ)过左焦点F的直线
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,是否存在直线l,使得OA⊥OB,O为坐标原点,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)设F(c,0),
∵抛物线y
2
=4x的焦点坐标为(1,0),且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y
2
=4x的焦点重合,∴c=1,
又
e=
c
a
=
2
2
,得
a=
2
,于是有b
2
=a
2
-c
2
=1.
故椭圆Γ的标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
;
(2)假设存在直线l满足题意.
①当直线l为x=-1时,
A(-1,
2
2
)
,
B(-1,-
2
2
)
,
OA
•
OB
=(-1,
2
2
)•(-1,-
2
2
)
=
1-
1
2
≠0
,此时OA⊥OB不成立,与已知矛盾,舍去.
②设直线l的方程为y=k(x+1),代入
x
2
2
+
y
2
=1
,消去y得,(2k
2
+1)x
2
+4k
2
x+2k
2
-2=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=-
4
k
2
2
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
2
k
2
-2
2
k
2
+1
,
∴
OA
•
OB
=(
x
1
,
y
1
)•(
x
2
,
y
2
)
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
(
k
2
+1)
x
1
x
2
+
k
2
(
x
1
+
x
2
)+
k
2
=
(
k
2
+1)
2
k
2
-2
2
k
2
+1
+
k
2
-4
k
2
2
k
2
+1
+
k
2
=
k
2
-2
2
k
2
+1
=0
⇒k=±
2
∴直线l的方程为
y=±
2
(x+1)
,
即
2
x-y+
2
=0
或
2
x+y+
2
=0
.
举一反三
如图,抛物线C
1
:x
2
=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C
2
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,C
1
与C
2
在第一象限的交点为P(
3
,
1
2
)
(1)求抛物线C
1
及椭圆C
2
的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C
2
交于不同两点A、B,点M满足
AM
+
BM
=
0
,直线FM的斜率为k
1
,试证明k•k
1
>
-1
4
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的一个焦点为
(
2
,0)
,且长轴长为短轴长的
3
倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的下顶点为A,且椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点
(1,
2
2
)
,离心率为
2
2
,左、右焦点分别为F
1
、F
2
.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF
1
和PF
2
与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点.设直线PF
1
、PF
2
的斜率分别为k
1
、k
2
.
(Ⅰ)证明:
1
k
1
-
3
k
2
=2
;
(Ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k
OA
、k
OB
、k
OC
、k
OD
满足k
OA
+k
OB
+k
OC
+k
OD
=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知曲线Cx
2
-y
2
=1及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C左支交于两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为
2
,求实数k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若点P为双曲线与圆x
2
+y
2
=a
2
+b
2
的一个交点,且满足|PF
1
|=2|PF
2
|,求此双曲线的离心率;
(Ⅱ)设双曲线的渐近线方程为y=±x,F
2
到渐近线的距离是
2
,过F
2
的直线交双曲线于A,B两点,且以AB为直径的圆与y轴相切,求线段AB的长.
题型:不详
难度:
|
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