设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2.(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;(Ⅱ
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设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2.(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;(Ⅱ
题型:不详
难度:
来源:
设点P在曲线y=x
2
上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x
2
及直线x=2所围成的面积分别记为S
1
、S
2
.
(Ⅰ)当S
1
=S
2
时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当S
1
+S
2
有最小值时,求点P的坐标和最小值.
答案
(Ⅰ)设点P的横坐标为t(0<t<2),则P点的坐标为(t,t2),
直线OP的方程为y=tx
S
1
=∫
0
t
(tx-x
2
)dx=
1
6
t
3
,S
2
=∫
t
2
(x
2
-tx)dx=
8
3
-2t+
1
6
t
3
,
因为S
1
=S
2
,,所以t=
4
3
,点P的坐标为(
4
3
,
16
9
)
S=S
1
+S
2
=
1
6
t
3
+
8
3
-2t+
1
6
t
3
=
1
3
t
3
-2t+
8
3
S
′
=t
2
-2,令S"=0得t
2
-2=0,t=
2
因为0<t<
2
时,S"<0;
2
<t<2时,S">0
所以,当t=
2
时,S
min
=
8-4
2
3
,P点的坐标为(
2
,2).
举一反三
已知两点
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
,满足条件|PF
2
|-|PF
1
|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果
|AB|=6
3
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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直线L:
x
4
+
y
3
=1与椭圆E:
x
2
16
+
y
2
9
=1相交于A,B两点,该椭圆上存在点P,使得△PAB的面积等于3,则这样的点P共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2
2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
x
2
a
2
+
y
2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
两渐近线为l
1
、l
2
,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l
1
,又设l与l
2
交于点P,l与C两交点自上而下依次为A、B;
(1)当l
1
与l
2
夹角为
π
3
,双曲线焦距为4时,求椭圆C的方程及其离心率;
(2)若
FA
=λ
AP
,求λ的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点
A(1,
3
2
)
到焦点F
1
、F
2
的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.
题型:不详
难度:
|
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