(I)由e==,得=, ∴a2=4c2=4(a2-b2), ∴3a2=4b2.(1),…(1分) 由椭圆过点(,-)知,+=1.(2)…(2分) 联立(1)、(2)式解得a2=4,b2=3.…(3分) 故椭圆的方程是+=1.…(4分) (II)+为定值…(5分) 证明:椭圆的右焦点为F′(1,0),分两种情况. 1°当直线AB的斜率不存在时,AB:x=1, 则CD:y=0.此时|AB|=3,|CD|=4,+=;…(6分) 2°当直线AB的斜率存在时, 设AB:y=k(x-1)(k≠0),则CD:y=-(x-1). 又设点A(x1,y1),B(x2,y2). 联立方程组, 消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, ∴x1+x2=,x1•x2=…(7分) ∴|AB|==|x1-x2| =• =• | 64k4-16(k2-3)(4k2+3) | (4k2+3)2 |
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=,…(8分) 由题知,直线CD的斜率为-, 同理可得|CD|=…(9分) 所以+==为定值.…(10分) (Ⅲ)由(II)知+=, ∴|AB|+|CD|=(|AB|+|CD|)(+)…(11分) =(++) ≥(+2)=,…(12分) 当且仅当=, 即|AB|=|CD|,即|AB|=3,|CD|=4时取等号…(13分) ∴|AB|+|CD|的最小值为.…(14分)
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