在椭圆x216+y24=1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为(  )A.x+4y-5=0B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0D.4x-

在椭圆x216+y24=1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为(  )A.x+4y-5=0B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0D.4x-

题型:不详难度:来源:
在椭圆
x2
16
+
y2
4
=1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为(  )
A.x+4y-5=0B.x-4y-5=0C.4x+y-5=0D.4x-y-5=0
答案
设以点M(1,1)为中点的弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2.
x12
16
+
y12
4
=1
,①
x22
16
+
y22
4
=1
,②
①-②得:
(x1+x2)(x1-x2)
16
+
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0
又据对称性知x1≠x2
∴以点M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=-
1
4

∴中点弦所在直线方程为y-1=-
1
4
(x-1),即x+4y-5=0.
故选A.
举一反三
椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐标原点,C的右顶点和上顶点分别为A、B,且△AOB的面积为


5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P(4,0)作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N,交y轴于Q点,证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值,并求这个定值.
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已知椭圆C1
x2
4
+
y2
3
=1
和抛物线C2:y2=2px(p>0),过点M(1,0)且倾斜角为
π
3
的直线与抛物线交于A、B,与椭圆交于C、D,当|AB|:|CD|=5:3时,求p的值.
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过双曲线
x2
3
-y2=1
的右焦点F2,作倾斜角为
π
4
的直线交双曲线于A、B两点,
求:(1)|AB|的值;
(2)△F1AB的周长(F1为双曲线的左焦点).
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已知F是抛物线y2=4x上的焦点,P是抛物线上的一个动点,若动点M满足


FP
=2


FM
,则M的轨迹方程是______.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),F1、F2是其左右焦点,其离心率是


6
3
,P是椭圆上一点,△PF1F2的周长是2(


3
+


2
).
(1)求椭圆的方程;
(2)试对m讨论直线y=2x+m(m∈R)与该椭圆的公共点的个数.
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