如果椭圆x236+y29=1的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1•k2=(  )A.4B.14

如果椭圆x236+y29=1的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1•k2=(  )A.4B.14

题型:不详难度:来源:
如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1•k2=(  )
A.4B.
1
4
C.-1D.-
1
4
答案
设直线AB方程为y=k1x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程并整理得:
(1+4k12)x2+8k1bx+4b2-36=0,
x1+x2=-
8k1b
1+4k12

又中点M在直线上,
y1+y2
2
=k1
x1+x2
2
)+b,
从而得弦中点M的坐标为(-
4k1b
1+4k12
b
1+4k12
),
k2=-
b
1+4k12
4k1b
1+4k2
=-
1
4k1

∴k1k2=-
1
4

故选D.
举一反三
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点F1的坐标为(-1,0),已知椭圆E上的一点到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过椭圆E的右焦点F2作一条倾斜角为
π
4
的直线交椭圆于C、D,求△CDF1的面积;
(Ⅲ)设点P(4,t)(t≠0),A、B分别是椭圆的左、右顶点,若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N,求证∠MBP为锐角.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为4


3

(1)若椭圆的离心率e=


3
3
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,


MF1


MF2
=1,求△MF1F2的面积最大时的椭圆方程.
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在直角坐标系中,O为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,


2
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
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如图,直线l:y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B,C两点,求△ABC的面积.
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如图,将圆p:x2+y2=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到点P,并设点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设o为坐标原点,过点Q(


3
,0)的直线l与曲线C交于两点A,B,线段AB的中点为N,且


OE
=2


ON
,点E在曲线C上,求直线l:
x
a
+
y
b
=1
的方程.
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