如果椭圆x236+y29=1的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（　　）A．4B．14

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如果椭圆

=1的弦AB被点M（x₀，y₀）平分，设直线AB的斜率为k₁，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k₂，则k₁•k₂=（　　）

A．4

B．

C．-1

D．-

答案

设直线AB方程为y=k₁x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程并整理得：
（1+4k₁²）x²+8k₁bx+4b²-36=0，
x₁+x₂=-

8k1b

1+4k12

，
又中点M在直线上，
∴

y1+y2

=k₁（

x1+x2

）+b，
从而得弦中点M的坐标为（-

4k1b

1+4k12

，

1+4k12

），
∴k2=-

1+4k12

4k1b

1+4k2

4k1

，
∴k₁k₂=-

．
故选D．

举一反三

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁的坐标为（-1，0），已知椭圆E上的一点到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F₂作一条倾斜角为

的直线交椭圆于C、D，求△CDF₁的面积；
（Ⅲ）设点P（4，t）（t≠0），A、B分别是椭圆的左、右顶点，若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N，求证∠MBP为锐角．

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已知椭圆

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作直线交椭圆于P、Q两点，△F₂PQ的周长为4

．
（1）若椭圆的离心率e=

，求椭圆的方程；
（2）若M为椭圆上一点，

MF1

•

MF2

=1，求△MF₁F₂的面积最大时的椭圆方程．

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在直角坐标系中，O为坐标原点，如果一个椭圆经过点P（3，

），且以点F（2，0）为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．

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如图，直线l：y=x+b与抛物线x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l₁交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．

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如图，将圆p：x²+y²=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），得到点P，并设点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设o为坐标原点，过点Q（

，0）的直线l与曲线C交于两点A，B，线段AB的中点为N，且

，点E在曲线C上，求直线l：

=1的方程．

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如果椭圆x236+y29=1的弦AB被点M（x0，y0）平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1•k2=（ ）A．4B．14