(1)依题意+=1,解得b2=5,…(2分) 所以椭圆的标准方程是+=1.…(3分) (2)由得5x2+8mx+4m2-20=0,…(4分) ∵直线l与椭圆有两个不同的交点, ∴△=(8m)2-20(4m2-20)=-16m2+400>0…(6分) 解得-5<m<5.…(7分) (3)假设存在实数m满足题意, 当MA⊥AB时,直线MA的方程为y-1=-(x-4),即y=-x+5. 由得x2-8x+16=0,解得. 故A(4,1),与点M重合,不合题意. 同理,当MB⊥AB时,也不合题意.…(9分) 当MA⊥MB时,设A(x1,y1),B(x2,y2). 由(2)得x1+x2=-,x1•x2=, y1+y2=x1+x2+2m,y1•y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.…(10分) ∵=(x1-4,y1-1),=(x2-4,y2-1) ∴•=(x1-4)(x2-4)+(y1-1)(y2-1)…(11分) =x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-(y1+y2)+1 =2x1x2+(m-5)(x1+x2)+m2-2m+17 =2•+(m-5)(-)+m2-2m+17 =+m2-2m+17=m2+6m+9.…(13分) 又•=0, ∴m2+6m+9=0, 解得m=-3∈(-5,5), 综上所述,存在实数m=-3使△ABM为直角三角形.…(14分) |