如图,点F是椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为12,三角形ABF的面积为332,(Ⅰ)求椭圆

如图,点F是椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为12,三角形ABF的面积为332,(Ⅰ)求椭圆

题型:不详难度:来源:
如图,点F是椭圆W:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为
1
2
,三角形ABF的面积为
3


3
2

(Ⅰ)求椭圆W的方程;
(Ⅱ)对于x轴上的点P(t,0),椭圆W上存在点Q,使得PQ⊥AQ,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆W交于不同的两点M、N(M、N异于椭圆的左右顶点),若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
答案
(Ⅰ)由e=
c
a
=
1
2
,即a=2c,得b=


a2-c2
=


3
c

S△ABF=
1
2
(a+c)•b=
3


3
2
c2=
3


3
2
,解得c2=1,∴a2=4c2=4,b2=a2-c2=3,
∴椭圆W的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
;…(3分)
(Ⅱ)A(2,0),P(t,0),设Q(x,y),则
x2
4
+
y2
3
=1


PQ
=(x-t,y)


AQ
=(x-2,y)



PQ


AQ
,∴(x-t)(x-2)+y2=0,∴(x-t)(x-2)+3(1-
x2
4
)=0
,…(5分)
∵-2<x<2,∴x-t-
3(2+x)
4
=0
,即t=
x-6
4
∈(-2,-1)
;…(7分)
(Ⅲ)证明:联立





y=kx+m
3x2+4y2=12
消y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<3+4k2x1+x2=-
8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2
,…(9分)


AM
=(x1-2,y1),


AN
=(x2-2,y2)

若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,则


AM


AN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0

即(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=0,…(11分)
展开整理得:x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
4m2-12
3+4k2
-2(-
8km
3+4k2
)+4+k2(
4m2-12
3+4k2
)+km(-
8km
3+4k2
)+m2=0

通分化简得
7m2+16km+4k2
3+4k2
=0
,即7m2+16km+4k2=0,
分解得(7m+2k)(m+2k)=0,得7m+2k=0或m+2k=0,即m=-
2k
7
或m=-2k,
m=-
2k
7
时,直线y=kx+m=k(x-
2
7
)
,即直线过定点(
2
7
,0)

当m=-2k时,直线y=kx+m=k(x-2),即直线过定点(2,0),但与右顶点A重合,舍去,
综合知:直线l过定点,该定点的坐标为(
2
7
,0)
.…(14分)
举一反三
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=


3
2
,短轴长为2,点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,


m
=(
x1
b
y1
a
)


n
=(
x2
b
y2
a
)
,且


m


n
=0

(1)求椭圆方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率;
(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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求经过点P(-1,-6)与抛物线C:x2=4y只有一个公共点的直线l方程.
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如图,已知A(-3,0),B、C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足


AB


BQ
=0


BC
=
1
2


CQ

(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点,A′(3,0),求直线A′E、A′F的斜率之和.
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(文)已知椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
的一条弦的中点为P(4,2),求此弦所在直线l的方程.
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已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,长轴长等于12,离心率为
1
3

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取一点P,过P点做y轴垂线段PQ,Q为垂足,当P在椭圆上运动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程.
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