已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．（1）求点M的轨迹C的方程；（

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已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．

答案

（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点，l为准线的抛物线．
∴M的轨迹方程为y²=4x．
（2）当h⊥x时，h：x=4由

x=4 y2=4x

得y=±4
此时，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时，设l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁⋅x₂=16，y1⋅y2=-

x 11 ⋅ x 22

=-16
∴

OA

•

OB

=x₁⋅x₂+y₁⋅y₂=0
∴OP⊥OQ