已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为23.(1)求椭圆C的方程;(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为23.(1)求椭圆C的方程;(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
1
2
,短轴长为2
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B,记线段AB的中点为P,试求点P的轨迹方程.
答案
(1)∵椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
1
2
,短轴长为2
3
,
∴
c
a
=
1
2
2b=2
3
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得a=2,b=
3
,
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.
(2)设P(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
若直线l与x轴垂直,则P(0,0);
若直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=kx+2,k≠0.
由
x
2
4
+
y
2
3
=1
y=kx+2
,得(3+4k
2
)x
2
+16kx+4=0,…①
则
2x=
x
1
+
x
2
=
-16k
3+4
k
2
y=kx+2
,将其消去k,得
3
x
2
4
+(y-1
)
2
=1,
由①中△=(-16k)
2
-16(3+4k
2
)>0,解得
k
2
>
1
4
,
则x=
-8k
3+4
k
2
=
-8
4k+
3
k
∈[-
2
3
3
,0
)∪(0,
2
3
3
],y=
-8
k
2
3+4
k
2
+2
=
6
3+4
k
2
∈(0,
3
2
).
综上,所求点P的轨迹方程为
3
x
2
4
+(y-1
)
2
=1.y∈[0,
3
2
).
举一反三
已知A、B是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的左、右顶点,椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P,满足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC
.
(1)设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,求证:S
1
S
3
=S
2
S
4
;
(2)设P点的横坐标为x
0
,求x
0
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知离心率为
6
3
的椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
与圆C:x
2
+(y-3)
2
=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,长轴长为4
5
,直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)若直线l不经过椭圆上的点M(4,1),求证:直线MA,MB的斜率互为相反数.
题型:不详
难度:
|
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直线L:y=kx+1与椭圆C:ax
2
+y
2
=2(a>1)交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(1)若k=1,且四边形OAPB为矩形,求a的值;
(2)若a=2,当k变化时(k∈R),求点P的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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已知O为坐标原点,F为椭圆C:
x
2
+
y
2
2
=1
在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点,点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
.
(Ⅰ)证明:点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.
题型:不详
难度:
|
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